Теорема Леви о непрерывности

Теоре́ма Леви́ в теории вероятностей — результат, увязывающий поточечную сходимость характеристических функций случайных величин со сходимостью этих случайных величин по распределению.

Формулировка

Пусть \{X_n\}_{n=1}^{\infty} последовательность случайных величин, не обязательно определённых на одном вероятностном пространстве. Обозначим характеристическую функцию случайной величины Xn, где n \in \mathbb{N}, символом φn(t). Тогда если X_n \to X по распределению при n \to \infty, и φ(t) — характеристическая функция X, то

\phi_n(t) \to \phi(t)\; \forall t \in \mathbb{R}.

Обратно, если \phi_n(t) \to \phi(t)\; \forall t \in \mathbb{R}, где \phi \in C(0) — функция действительного аргумента непрерывная в нуле, то φ(t) является характеристической функцией некоторой случайной величины X, и

X_n \to X по распределению при n \to \infty.

Замечание

Так как характеристическая функция любой случайной величины непрерывна в нуле, второе утверждение имеет следующее тривиальное следствие. Если \phi_n(t) \to \phi(t)\; \forall t \in \mathbb{R}, где φn(t) — характеристическая функция Xn, и φ(t) — характеристическая функция X, то X_n \to X по распределению при n \to \infty. Использование этого факта при доказательстве сходимости по распределению иногда называют ме́тодом характеристи́ческих фу́нкций. Метод характеристических функций является стандартным способом доказательства классической Центральной предельной теоремы.

См. также

  • Леви, Поль.
 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home