Интеграл Лебега

Интеграл Лебега — это обобщение интеграла Римана на более широкий класс функций. Все функции, определенные на конечном отрезке числовой прямой и интегрируемые по Риману, являются также интегрируемыми по Лебегу, причём в этом случае оба интеграла равны. Однако, существует большой класс функций, определенных на отрезке и интегрируемых по Лебегу, но неинтегрируемых по Риману. Также интеграл Лебега может иметь смысл для функций, заданных на произвольных множествах.

Идея построения интеграла Лебега состоит в том, что вместо разбиения области определения подынтегральной функции на части и составления потом интегральной суммы из значений функции на этих частях, на интервалы разбивают её область значений, а затем суммируют с соответствующими весами меры прообразов этих интервалов.

Содержание

Определение

Интеграл Лебега определяют индуктивно, переходя от более простых функций к сложным. Будем считать, что дано пространство с мерой (X,\mathcal{F},\mu), и на нем определена измеримая функция f:(X,\mathcal{F}) \to (\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R})).

Определение 1. Пусть \,f - индикатор некоторого измеримого множества, т.е. f(x) = \mathbf{1}_A(x), где A \in \mathcal{F}. Тогда интеграл Лебега функции \,f по определению:

\int\limits_X f(x)\, \mu(dx) \equiv \int\limits_X f\, d\mu = \mu( A ).

Определение 2. Пусть \,f - простая функция, т.е. f(x) = \sum\limits_{i=1}^n f_i\, \mathbf{1}_{F_i}(x), где \{f_i\}_{i=1}^n \subset \mathbb{R}, а \{F_i\}_{i=1}^n - конечное разбиение \,X. Тогда

\int\limits_X f(x)\, \mu(dx) = \sum\limits_{i=1}^n f_i\, \mu(F_i).

Определение 3. Пусть теперь \,f - неотрицательная функция, т.е. f(x) \geq 0\; \forall x\in X. Рассмотрим все простые функции \,\{f_s\}, такие что f_s(x) \leq f(x)\; \forall x\in X. Обозначим это семейство \mathcal{P}_f. Для каждой функции из этого семейства уже определен интеграл Лебега. Тогда интеграл от f задаётся формулой:

\int\limits_X f(x)\,\mu(dx) = \sup\left\{\int\limits_X f_s(x)\,\mu(dx)\; \vert\; f_s \in \mathcal{P}_f \right\}

Наконец, если функция \,f произвольного знака, то её можно представить в виде разности двух неотрицательных функций. Действительно, легко видеть, что:

\,f(x) = f^+(x) - f^-(x),

где

f^+(x) = \max(f(x),0),\; f^-(x) = - \min( 0, f(x)).

Определение 4. Пусть \,f - произвольная измеримая функция. Тогда ее интеграл задаётся формулой:

\int\limits_X f(x)\, \mu(dx) = \int\limits_X f^+(x)\, \mu(dx) - \int\limits_X f^-(x)\, \mu(dx).

Определение 5. Пусть наконец A \in \mathcal{F} произвольное измеримое множество. Тогда по определению

\int\limits_A f(x)\, \mu(dx) = \int\limits_X f(x)\, \mathbf{1}_A(x)\, \mu(dx),

где \mathbf{1}_A(x) - индикатор-функция множества A.

Пример

Рассмотрим функцию Дирихле f(x) \equiv \mathbf{1}_{\mathbb{Q}_{[0,1]}}(x), заданную на ([0,1],\mathcal{B}([0,1]),m), где \mathcal{B}([0,1]) - борелевская σ-алгебра на \,[0,1], а \,m - мера Лебега. Эта функция принимает значение \,1 в рациональных точках и \,0 в иррациональных. Легко увидеть, что \,f не интегрируема в смысле Римана. Однако, она является простой функцией на пространстве с конечной мерой, ибо принимает только два значения, а потому её интеграл Лебега определён и равняется:

\int\limits_{[0,1]}f(x)\, m(dx) = 1 \cdot m(\mathbb{Q}_{[0,1]}) + 0 \cdot m( [0,1] \setminus \mathbb{Q}_{[0,1]} ) = 1 \cdot 0 + 0 \cdot 1 = 0.

Замечания

  • Так как \,|f(x)| = f^+(x) + f^-(x), функция \,f(x) интегрируема по Лебегу тогда и только тогда, когда функция \,|f(x)| интегрируема по Лебегу. Это свойство не выполняется в отношении интеграла Римана;
  • В зависимости от выбора пространства, меры и функции, интеграл может быть конечным или бесконечным. Если интеграл функции конечен, то функция называется интегрируемой по Лебегу или суммируемой;
  • Если функция определена на вероятностном пространстве (\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P}) и измерима, то она называется случайной величиной, а ее интеграл называют математическим ожиданием или средним. Случайная величина интегрируема, если она имеет конечное математическое ожидание.

Простейшие свойства интеграла Лебега

  • Интеграл Лебега линеен, т.е.
\int\limits_X[af(x)+bg(x)]\, \mu(dx) = a \int\limits_X f(x)\, \mu(dx) + b\int\limits_X g(x)\, \mu(dx),

где a,b\in \mathbb{R} - произвольные константы;

  • Интеграл Лебега сохраняет неравенства, т.е. если 0 \leq f(x) \leq g(x) п.в., и \,g(x) интегрируема, то интегрируема и \,f(x), и более того
0 \leq \int\limits_X f(x)\, \mu(dx) \leq \int\limits_X g(x)\, \mu(dx);
  • Интеграл Лебега не зависит от поведения функции на множестве меры нуль, т.е. если \,f(x) = g(x) п.в., то
\int\limits_X f(x)\, \mu(dx) = \int\limits_X g(x)\, \mu(dx).

Сходимость интегралов Лебега от последовательностей функций

 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home