Математический анализ

Математи́ческий ана́лиз — совокупность разделов математики, посвященных исследованию функций и их обобщений методами дифференциального и интегрального исчислений. В него также входят теории функций действительного и комплексного переменного, теория дифференциальных уравнений, вариационное исчисление и ряд других математических дисциплин.

Содержание

История

Греческие математики, такие, как Евдоксий и Архимед, интуитивно использовали концепцию пределов и сходимости в методе перебора для вычисления площадей фигур и объемов тел. В XII веке индийский математик Бхашкара привел пример "коэффициента приращения" и сформулировал основную идею теоремы Ролля. В XIV веке индийский математик Мадхава из Сангамаграма выразил некоторые тригонометрические функции как бесконечные последовательности и оценил степень погрешностей, появляющихся при уменьшении этих последовательностей.

В Европе математический анализ появился в XVII веке в качестве независимых между собой исследований Ньютона и Лейбница. В XVII и XVIII веках были разработаны и практически применены такие разделы анализа, как вариационное исчисление, обыкновенные и дифференциальные уравнения в частных производных, анализ Фурье и производящая функция.

На протяжении всего XVIII века определение концепции функции было предметом споров среди математиков. В XIX веке Коши первым дал анализу твердое логическое обоснование, введя понятие последовательности. Он также открыл новую страницу комплексного анализа. Пуассон, Лиувилль, Фурье и другие изучали дифференциальные уравнения в частных производных и гармонический анализ.

В середине века Риман предложил теорию интегрального исчисления. В последней трети XIX века Вейерштрасс произвел арифметизацию анализа, полагая геометрическое обоснование неудобным, и предложил определение предела через ε-δ-язык;. Тогда математики стали сомневаться в существовании множества вещественных чисел. Дедекинд ввел вещественные числа с помощью дедекиндовых сечений. В это время попытки усовершенствования теоремы об интегрируемости по Риману привели к созданию классификации разрывности вещественных функций.

Также были открыты патологические примеры (нигде не дифференцируемые непрерывные функции, заполняющие пространство кривые). В связи с этим Жордан разработал теорию меры, а Кантортеорию множеств. В начале XX века исчисление было формализовано с использованием аксиоматической теории множеств. Лебег решил проблему меры, а Гильберт предложил понятие пространства Гильберта для решения интегральных уравнений. Идея нормированного векторного пространства витала в воздухе, и в 1920-е Банах создал функциональный анализ.

Разделы математического анализа

  • Теория функций
    • Теория функций вещественного переменного, изучающая производные и интегралы вещественнозначных функций.
    • Теория функций комплексного переменного, изучающая функции, заданные на комплексной плоскости.
  • Функциональный анализ, изучающий пространства функций.
  • Нестандартный анализ, изучающий бесконечно малые и бесконечно большие числа.

Литература

Наиболее известные учебники математического анализа:

  • Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления (в трёх томах)
  • Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа (в двух частях)
  • Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа (в трёх томах)
  • Зорич В.А. Математический анализ (в двух частях)
 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home