Скобка Пуассона

В математике и классической механике, скобка Пуассона имеет важное значение как оператор в гамильтоновой механике, играющий центральную роль в определении эволюции во времени динамической системы. Названа в честь Пуассона.

Определение

Скобка Пуассона на многообразии M — это структура алгебры Ли на пространстве дифференцируемых функций на M, для которой выполнено правило Лейбница. В локальных координатах xi скобка Пуассона задается выражением

\{f,g\}(x)=\sum_{i,j}{\pi^{ij}(x)\frac{\partial f}{\partial x_i}\frac{\partial g}{\partial x_j}},

где π - пуассонов тензор.

Многообразие, снабженное скобкой Пуассона называется пуассоновым многообразием.

Всякое симплектическое многообразие является пуассоновым. Скобка Пуассона на нем определяется формулой

\{f,g\}(x) = \sum_{i,j}{\tilde{\omega}^{i j}(x)\frac{\partial f}{\partial x_i}\frac{\partial g}{\partial x_j}}

где ω — матрица симплектической формы, \tilde{\omega}=\omega^{-1} — обратная матрица.

Обратно, если пуассонов тензор π невырожден, то форма \omega=\sum_{i,j}{\tilde{\pi}_{i j}(x)dx_i\wedge dx_j} задает на M структуру симплектического многообразия. При этом выполнение тождества Якоби для π эквивалентно замкнутости ω.

Канонические координаты

В канонических координатах (qi,pj) в фазовом пространстве, скобка Пуассона принимает вид

\{f,g\} = \sum_{i=1}^{N} \left[ \frac{\partial f}{\partial q^{i}} \frac{\partial g}{\partial p_{i}} - \frac{\partial f}{\partial p_{i}} \frac{\partial g}{\partial q^{i}} \right].

Эволюция во времени

Эволюция во времени функции f на симплектическом многообразии можно задать однопараметрическим семейством симплектоморфизмов, где время t является параметром. Полная производная по времени запишется в виде

\frac{d}{dt} f= \frac{\partial }{\partial t} f + \{\,f,H\,\} = \frac{\partial }{\partial t} f - \{\,H,f\,\} = \left(\frac{\partial }{\partial t} - \{\,H, \cdot\,\}\right)f.
 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home