Неравенство Гёльдера

Нера́венство Гё́льдера в функциональном анализе и смежных дисциплинах - это фундаментальное свойство пространств Lp.

Содержание

Формулировка

Пусть (X,\mathcal{F},\mu) - пространство с мерой, а L^p \equiv L^p(X,\mathcal{F},\mu) - пространство функций вида f:X \to \mathbb{R} с конечной интегрируемой p-ой степенью. Тогда в последнем определена норма

\|f\|_p = \left( \; \int\limits_X |f(x)|^p\, \mu(dx)\; \right)^{1/p}.

Пусть f \in L^p, а g \in L^q, где p,q \ge 1,\; 1/p + 1/q = 1. Тогда f \cdot g \in L^1, и

\|f \cdot g\|_1 \le \|f\|_p \cdot \|g\|_q.

Частные случаи

Неравенство Коши — Буняковского

Положив p = q = 2, получаем неравенство Коши — Буняковского для пространства L2.

Евклидово пространство

Рассмотрим Евклидово пространство E = \mathbb{R}^n или \mathbb{C}^n. Lp-норма в этом пространстве имеет вид:

\| x\|_p = \left( \sum\limits_{i=1}^n |x_i|^p \right)^{1/p},\; x = (x_1 ,\ldots, x_n)^{\top},

и тогда

\sum\limits_{i=1}^n |x_i \cdot y_i| \le \left( \sum\limits_{i=1}^n |x_i|^p \right)^{1/p} \cdot \left( \sum\limits_{i=1}^n |y_i|^q \right)^{1/q},\; \forall x,y \in E.

Пространство lp

Пусть X = \mathbb{N},\, \mathcal{F} = 2^{\mathbb{N}},\, m - счётная мера на \mathbb{N}. Тогда множество всех последовательностей \{x_n\}_{n=1}^{\infty}, таких что

\|x\|_p = \sum_{i=1}^{\infty} |x_n|^p < \infty,

называется lp. Неравенство Гёльдера для это пространства имеет вид:

\sum\limits_{n=1}^{\infty} |x_n \cdot y_n| \le \left( \sum\limits_{n=1}^{\infty} |x_n|^p \right)^{1/p} \cdot \left( \sum\limits_{n=1}^{\infty} |y_n|^q \right)^{1/q},\; \forall x \in l^p, y\in l^q.

Вероятностное пространство

Пусть (\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P}) - вероятностное пространство. Тогда L^p(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P}) состоит из случайных величин с конечным pмоментом: \mathbb{E}\left[|X|^p\right] < \infty, где символ \mathbb{E} обозначает математическое ожидание. Неравенство Гёльдера в этом случае имеет вид:

\mathbb{E}|XY| \le \left(\mathbb{E}|X|^p\right)^{1/p} \cdot \left( \mathbb{E}|Y|^q \right)^{1/q},\; \forall X \in L^p, Y \in L^q.

См. также

 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home