Неравенство Йенсена

Нера́венство Йе́нсенанеравенство для выпуклой функции среднего случайной величины.

Содержание

Формулировка

Пусть (\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P}) - вероятностное пространство, и X:\Omega \to \mathbb{R} - определённая на нём случайная величина. Пусть также \phi:\mathbb{R} \to \mathbb{R} - выпуклая (вниз) борелевская функция. Тогда если X, \phi(X) \in L^1(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P}), то

\phi(\mathbb{E}[X]) \le \mathbb{E}[\phi(X)],

где \mathbb{E}[\cdot] означает математическое ожидание.

Замечание

  • Если функция φ вогнута (выпукла вверх), то знак в неравенстве меняется на противоположный.

Конечномерный вариант

Предположим, что X имеет дискретное распределение, задаваемое функцией вероятности

\mathbb{P}(X = x_i) = \alpha_i \ge0,\; i= 1,\ldots, n;\; \sum\limits_{i=1}^n \alpha_i = 1.

Тогда неравенство Йенсена принимает вид:

\phi \left( \sum_{i=1}^{n} \alpha_i x_i \right) \le \sum_{i=1}^{n} \alpha_i \phi (x_i).

Следствия

  • Неравенство Гиббса в теории информации;
  • Теорема Рао — Блекуэлла — Колмогорова в математической статистике.

Неравенство Йенсена для условного математического ожидания

Пусть в дополнение к предположениям, перечисленным выше, \mathcal{G}\subset \mathcal{F} - под-σ-алгебра событий. Тогда

\phi(\mathbb{E}[X\mid \mathcal{G}]) \le \mathbb{E}[\phi(X) \mid \mathcal{G}],

где \mathbb{E}[\cdot \mid \mathcal{G}] обозначает условное математическое ожидание относительно σ-алгебры \mathcal{G}.

 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home