Векторное произведение

Содержание

Правые и левые тройки векторов

Три вектора называются упорядоченной тройкой, если указано, какой из этих векторов является первым, какой - вторым, а какой - третьим.

Тройка некомпланарных векторов abc называется правой (левой), если, будучи приведёнными к общему началу, эти векторы располагаются так, как могут быть расположены соответственно большой, несогнутый указательный и средний пальцы правой (левой) руки.

Определение

Векторным произведением вектора a на вектор b называется вектор c, обозначаемый \vec c = \left[ \vec a \vec b \right] и удовлетворяющий следующим требованиям:

  • длина вектора c равна произведению длин векторов a и b на синус угла φ; между ними

\left| \vec c \right| = \left| \vec a \right| \left| \vec b \right| \sin \phi

  • вектор c ортогонален каждому из векторов a и b
  • вектор c направлен так, что тройка векторов abc является правой.

Геометрические свойства векторного произведения

  • Необходим и достаточным условием коллинеарности двух векторов является равенство нулю их векторного произведения.
  • Модуль векторного произведения [ab] равняется площади S параллелограмма, построенного на приведённых к общему началу векторах a и b
  • Если e - орт векторного произведения a и b, а S - площадь параллелограмма, построенного на приведённых к общему началу векторах a и b, то для векторного произведения справедлива формула:

[ \vec a \vec b ] = S \vec e

  • Если c - какой-нибудь вектор, π - любая плоскость, содержащая этот вектор, e - единичный вектор, лежащий в плоскости π и ортогональный к c, g - единичный вектор, ортогональный к плоскости π и направленный так, что тройка векторов ecg является правой, то для любого лежащего в плоскости π вектора a справедлива формула

\left[ \vec a \vec c \right] = Pr_{ \vec e } \vec a \left| \vec c \right| \vec g

Алгебраические свойства векторного произведения

  • \left[ \vec a \vec b \right] = - \left[ \vec b \vec a \right] (свойство антиперестановочности);
  • \left[ \left(\alpha \vec a \right) \vec b \right] = \left[ \vec a \left(\alpha \vec b \right) \right] = \alpha \left[ \vec a \vec b \right] (сочетательное свойство);
  • \left[ \left( \vec a + \vec b \right) \vec c \right] = \left[ \vec a \vec c \right] + \left[ \vec b \vec c \right] (распределительное свойство);
  • \left[ \vec a \vec a \right] =\vec 0 для любого вектора a.

Выражение для векторного произведения в декартовых координатах

Если два вектора a и b определены своими прямоугольными координатами

\vec a = \left\{ X_1, Y_1, Z_1 \right\} \vec b = \left\{ X_2, Y_2, Z_2 \right\}

то иx векторное произведение имеет вид

[ \vec a \vec b ] = \left\{Y_1 Z_2 - Y_2 Z_1, Z_1 X_2 - Z_2 X_1, X_1 Y_2 - X_2 Y_1 \right\}

Для запоминания этой формулы удобно использовать символ определителя :

[ \vec a \vec b ] = \begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ X_1 & Y_1 & Z_1 \\ X_2 & Y_2 & Z_2 \end{vmatrix}

См. также

Смешанное произведение векторов

Ссылки

 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home