Непрерывное отображение

В математике отображение, или функция, называется непрерывным, если небольшие изменения аргумента приводят к небольшим изменениям значения функции.

Содержание

Формальные определения

Вещественнозначная функция на вещественной прямой

Функция f(x) называется непрерывной в точке a, если для любого \varepsilon > 0 найдётся окрестность точки a такая, что значения функции, взятые в точках этой окрестности, содержатся в ε-окрестности f(a):

\forall \varepsilon > 0 \exists \delta > 0 \forall x (|x-a| < \delta \Rightarrow |f(x)-f(a)| < \varepsilon)

Как видно, условие непрерывности в точке мало отличается от условия существования предела; существенное отличие состоит в том, что при определении предела функции мы рассматриваем проколотые окрестности точки a (то есть не содержащие саму точку a), а здесь мы рассматриваем и точку a.

Эквивалентное определение непрерывности: значение функции в точке должно быть равно пределу функции в этой точке. Отсюда следует критерий непрерывности функции: f(x) непрерывна в a, если \lim_{h \to 0} {(f(x) - f(x + h))} = 0.

Дифференцируемость функции в точке гарантирует её непрерывность, но обратное неверно. Для примера можно рассмотреть функцию Ван-дер-Вардена, непрерывную, но недифференцируемую на всей прямой.

Следующие локальные свойства непрерывных в точке a функций легко доказываются, исходя из аналогичных свойств предела.

Если f(x),g(x) — непрерывные в точке a функции, причём (для последнего случая) g не равна нулю, то функции kf(x) (k — константа), f(x) + g(x), f(x) \cdot g(x) и \frac{f(x)}{g(x)} суть функции, определённые в некоторой окрестности точки a и непрерывные в этой точке. Таким образом, исходя из непрерывности функции f(x) = x можно доказать, например, непрерывность произвольного многочлена.

Функция называется непрерывной на множестве (например, на отрезке), если она непрерывна в каждой точке этого множества. Глобальные свойства непрерывных функций (то есть свойства функций, непрерывных на отрезке), характеризуются теоремой Больцано—Коши и теоремой Вейерштрасса.

Если функция не непрерына в точке a, то говорят, что в этой точке у неё существует разрыв. Он называется разрывом первого рода, если пределы функции при стремлении x к a существуют и конечны, и второго рода, если хотя бы один из односторонних пределов не существует или бесконечен. Если в случае разрыва первого рода пределы справа и слева равны между собой (но не равны значению функции, или функция не определена в точке a), то эта точка называется точкой устранимого разрыва. Говоря об устранимости, имеют в виду, что можно определить функцию, равную данной во всех точках, кроме точки устранимого разрыва, а в точке разрыва равной одному из односторонних пределов данной функции при стремлении к данной точке — и такая функция будет непрерывна в точке, для исходной функции являвшейся точкой устранимого разрыва. Эту операцию называют устранением разрыва. Исследование особенностей операции устранения разрыва, а также поведения функций после устранения разрыва является важным разделом математического и функционального анализов.

В качестве примера разрыва второго рода можно привести точку x = 0 функции f(x) = \frac{1}{x}. Пример точки устранимого разрыва — x = 0 для функции f(x) = \frac{\sin x}{x}. Часто бывает, что в «большинстве» точек функция непрерывна; однако, это не всегда так (в качестве примера можно взять функцию Дирихле́, разрывную везде, и функцию Римана, разрывную во всех рациональных точках). В качестве примера функции, разрывной везде, кроме одной точки, и имеющей в этой точке производную, можно предложить f(x) = x2D(x), где D(x) — уже упомянутая функция Дирихле.

Отображения из Rm в Rm

Очевидное обобщение предыдущего определения заключается в том, чтобы заменить знак модуля на знак нормы: функция f: Rm в Rm называется непрерывной в точке a из Rm, если

\forall \varepsilon > 0 \quad \exists \delta > 0 \quad \forall x \in \mathbb{R}^m (\|x-a\| < \delta) \Rightarrow (\|f(x) - f(a)\| < \varepsilon)

Отображение метрических пространств

В предыдущем определении наличие операции вычитания, точнее линейной структуры, в евклидовых пространствах не играло никакой роли. Существенной была лишь возможность измерять расстояния. Множества, на которых указан способ измерять расстояния, то есть имеется функция расстояния между точками ρ (x, y), удовлетворяющая некоторым естественным требованиям, называются метрическими пространствами. Например, в евклидовых пространствах в качестве такой функции естественно выбрать ρ(x,y)=||x-y||.

Отображение f: XY метрического пространства (X, ρX) в метрическое пространство (Y, ρY) называется непрерывным в точке a, если для любого ε > 0 найдется δ > 0 такое, что образы всех точек, удаленных от a менее чем на δ, удалены от f(a) менее чем на ε:

\forall \varepsilon > 0 \quad \exists \delta > 0 \quad \forall x \in X \quad \Big(\rho_X(x,a) < \delta\Big) \Rightarrow \Big( \rho_Y (f(x), f(a))< \varepsilon \Big)

Топологическое определение непрерывности

Чтобы дать наиболее общее определение непрерывности, заметим следующее. Неформально говоря, в предыдущих определениях нам не нужна точная мера расстояния, а важно лишь понятие близости. Все предыдущие определения говорят одно: близкие точки переходят в близкие. В первом случае близкие точки — это отличающиеся по модулю меньше, чем на некоторое положительное число. В случае евклидовых и метрических пространств это шары некоторого положительного радиуса. Множество, в котором указан некоторый набор подмножеств T, позволяющий говорить о близких точках, называются топологическим пространством. Подмножества этого набора называются открытыми множествами. Близкими считаются точки, лежащие в одном открытом множестве.

Итак, общее определение непрерывности выглядит следующим образом. Отображение f: XY топологического пространства (X, TX) в топологическое пространство (Y, TY) называется непрерывным, если прообраз любого открытого множества открыт.

\forall V \in T_Y \quad f^{-1}(V) \in T_X

Cм. также

 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home