Парадокс Хаусдорфа

Парадокс Хаусдорфа утверждает, что существует счётное подмножество T двумерной сферы S2 такое, что \bar S^2, S^2 с вырезанным T, может быть разбито на три подмножества A, B и C так, что подмножества A, B, C и BC являются попарно конгруэнтными. Парадокс Хаусдорфа — вовсе не логический парадокс, это теорема, только весьма неинтуитивная (в частности, две копии \bar S^2 можно разбить на шесть кусков и составить из них три копии \bar S^2!)

Этот парадокс был опубликован[1] в 1914 году, в его доказательстве используется аксиома выбора. Доказательство более известного парадокса Банаха — Тарского основано на той же идее Хаусдорфа. Как и парадокс Банаха — Тарского, парадокс Хаусдорфа нельзя ни доказать, ни опровергнуть без принятия аксиомы выбора, а при принятии некоторых альтернативных аксиом можно доказать его отрицание (т.е. невозможность такого разбиения).

Парадокс доказывает, что на двумерной сфере нельзя ввести функционал конечно-аддитивную меру, который бы был определён на всех подмножествах и такой, что конгруэнтные множества имели бы тот же объём.

Иногда под парадоксом Хаусдорфа понимают другое утверждение, доказанное в той же статье, что и предыдущее. Оно утверждает, что единичный отрезок можно разбить на счётное число кусков и с помощью одних только сдвигов составить отрезок длины два. Это показывает, что на прямой нет меры, определённой на всех подмножествах и инвариантной относительно сдвигов. Тем не менее, возможно определить конечно-аддитивную меру для всех ограниченных подмножеств плоскости (как и прямой), такую, что равносоставленные множества будут иметь равную меру.

Содержание

Идея доказательства

Здесь мы докажем упрощённый вариант парадокса, мы покажем, что сферу с выколотым счётным числом точек (назовём её \bar S^2) можно разбить на три попарно конгруэнтных куска A, B и C такие, что BC конгруэнтно подмножеству A. Как и парадокс Хаусдорфа, это утверждение доказывает, что на двумерной сфере нельзя ввести функционал «площади», который бы был определён на всех подмножествах и такой, что конгруэнтные множества имели бы одинаковый объём.

В доказательстве делаются следующие шаги:

  1. Находим специальное разбиение некоторой группы с двумя образующими Γ на три подмножества.
  2. Строим свободное изометрическое действие этой группы на \bar S^2.
  3. Используем разбиение Γ и аксиому выбора для того, чтобы произвести нужное разбиение сферы.

Шаг 1

Рассмотрим группу Γ с двумя образующими a и b и соотношениями a2 = 1 и b3 = 1 (иначе говоря, \Gamma={\mathbb Z}_2*{\mathbb Z}_3, где * обозначает свободное произведение групп). Группа Γ состоит из пустого слова, которое мы обозначаем 1 (это единица нашей группы) и всех конечных слов из трёх символов b,b - 1 и a такие, что b и b - 1 чередуются с a. Таким образом, все элементы (кроме единицы) можно представить единственным образом как a b^{\pm 1}ab^{\pm 1}\dots b^{\pm 1}a или b^{\pm 1}ab^{\pm 1}a\dots b^{\pm 1}a или a b^{\pm 1}ab^{\pm 1}\dots ab^{\pm 1} или b^{\pm 1}ab^{\pm 1}a\dots ab^{\pm 1}.

Группу Γ можно разбить следующим образом: пусть {\mathbb A} будет множество всех слов, начинающихся с b, {\mathbb B} будет множество всех слов, начинающихся с b - 1 и {\mathbb C} будет множество всех остальных элементов Γ. Ясно, что

\Gamma={\mathbb A}\cup{\mathbb B}\cup{\mathbb C},

т. е. мы разбили нашу группу Γ на три непересекающихся подмножества. Также

{\mathbb A}=b {\mathbb C},
{\mathbb B}=b^{-1} {\mathbb C},
{\mathbb A}\cup{\mathbb B}\subset {\mathbb A}\cup{\mathbb B}\cup \{1,a\}=a{\mathbb C}.

На рисунке справа изображён граф Келли группы Γ, и подмножества {\mathbb A},\ {\mathbb B} и {\mathbb C} отмечены соответственно красным, синим и зелёным цветом.

Шаг 2

Несложно показать, что существует представление Γ с помощью вращений сферы такое, что полученное действие свободно на всей сфере, кроме счётного числа точек. Давайте выкинем из сферы это счётное множество и назовём остаток \bar S^2. (На самом деле, если взять два поворота сферы на углы π и 2π / 3 общего положения и сопоставить их образующим a и b, то индуцированное действие Γ будет удовлетворять этому условию).

Шаг 3

Выберем в каждой орбите Γ на \bar S^2 по одному элементу, назовём полученное множество X (как раз для построения X нам и нужна аксиома выбора). Тогда наша колотая сфера \bar S^2 представляется как объединение следующих непересекающихся множеств:

\bar S^2=A\cup B\cup C,

где

A= {\mathbb A}X,\ B={\mathbb B}X,\ C={\mathbb C}X .

Используя тот же приём, что и в шаге 1, мы получаем:

A = bC,
B = b − 1C,
A\cup B \subset a C,

и, так как a и b являются изометриями, мы получаем, что А, B и C конгруэнтны и АB конгруэнтно подмножеству C.

Литература

 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home