Нильпотентный элемент

Нильпотентный элемент или нильпотент ― элемент a кольца, удовлетворяющий равенству an = 0 для некоторого натурального n. Минимальное значение n, для которого справедливо это равенство, называется индексом нильпотентности элемента a.

Рассмотрение нильпотентов часто оказывается полезным в алгебраической геометрии, т. к. они позволяют получить чисто алгебраические аналоги ряда понятий, типичных для анализа и дифференциальной геометрии (бесконечно малые деформации и т. п.).

Примеры

  • В кольце вычетов по модулю pn, где p ― некоторое простое число, класс вычетов числа p ― нильпотент индекса n,
  • Матрица
\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0 \end{pmatrix}
является нильпотентом индекса 2 в кольце 2\times 2-матриц

Свойства

  • Если a ― нильпотентный элемент индекса n, то справедливо равенство
1=(1-a)(1+a+a^2+\cdots+a^{n-1}),
т. е. элемент (1 − a) обратим и обратный к нему элемент записывается в виде многочлена от a.
  • В коммутативном кольце элемент а нильпотентен тогда и только тогда, когда он содержится во всех простых идеалах.
  • Все нильпотентные элементы образуют идеал J, называемым нильрадикалом кольца совпадающий с пересечением всех простых идеалов. Кольцо A / J уже не имеет нильпотентных элементов, отличных от нуля.
  • При интерпретации коммутативного кольца как кольца функций на пространстве его спектре нильпотентам соответствуют функции, тождественно равные нулю.
 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home