Обращение интеграла Лапласа

Обращение интеграла Лапласа

Пусть функция F комплексного переменного p = x + iy удовлетворяет следующим условиям:
1) F - аналитическая в области Rep > a
2) в области Rep > a F \to 0 при |p| \to +\infty равномерно относительно argp
3) для всех Rep > a сходится интеграл \int_{x - i\infty}^{x + i\infty} \left| F(p) \right|\, dy

Тогда фунция F при Rep > a является изображением функции f действительной переменной t, которую можно найти по формуле

f(t) = \frac{1}{2\pi i}\int_{x - i\infty}^{x + i\infty} e^{p^t} F(p)\, dp,\quad x > a

Эта формула называется формулой Меллина, а интеграл — интегралом Меллина.

Во многих случаях интеграл Меллина может быть вычислен с помощью вычетов. А именно, если функция F, заданная в области Rep > a, может быть аналитически продолжена на всю плоскость комплексного переменного с конечным числом особых точек p1, p2, ..., pn и её аналитическое произведение удовлетворяет при Rep < a условиям леммы Жордана, то

f(t) = \sum_{k=1}^n res_{p = p_k}(e^{p^t} F(p))


См. также

 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home