Тригонометрические формулы

Содержание

Формулы сложения аргументов

Формулы сложения аргументов
\sin \left( \alpha \pm \beta \right) = \sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta \,\! (5)
\cos \left( \alpha \pm \beta \right) = \cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta \,\! (6)
\mathop{\mathrm{tg}}\, \left( \alpha \pm \beta \right) = \frac{ \mathop{\mathrm{tg}}\, \alpha \pm \mathop{\mathrm{tg}}\, \beta}{1 \mp \mathop{\mathrm{tg}}\, \alpha \mathop{\mathrm{tg}}\,\beta} \,\! (7)

Формула (7) получается при делении (5) на (6).

Вывод формул \sin ( \alpha - \beta) ,\ \cos ( \alpha - \beta)

На Рис. 3 изображены четыре прямоугольных треугольника: ABC, ABE, ADE и CDE.

Принято, что AE = 1, \angle BAC = \angle DEC = \alpha, \angle EAC = \beta, \angle BAE = \alpha - \beta.

Так как AE = 1, то

(AB) = \cos ( \alpha - \beta) \,\!
(BE) = \sin ( \alpha - \beta) \,\!
(DE) = \sin \beta \,\!
(AD) = \cos \beta \,\!.

Из треугольника A1B1C1 следует:

\sin \alpha = \frac{(CE) + \sin ( \alpha - \beta)}{ \cos \beta + (DC)} \qquad \qquad (8) \,\!
\cos \alpha = \frac{ \cos ( \alpha - \beta)}{ \cos \beta + (DC)} \qquad \qquad \qquad(9) \,\!

Из треугольника CDE следует:

\sin \alpha = \frac{DC}{CE} \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad (10)
\cos \alpha = \frac{ \sin \beta}{CE} \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad(11).

Из (11) следует:

CE = \frac{ \sin \beta}{ \cos \alpha} \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad(12).

Из (10) и (12) следует:

DC = {CE} \sin \alpha = \sin \alpha \frac{ \sin \beta}{ \cos \alpha} \qquad \qquad (13).

Из (9) следует:

\cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha( \cos \beta + {DC}) = \cos \alpha( \cos \beta + \sin \alpha \frac{ \sin \beta}{ \cos \alpha}).

Раскрываем скобки и получаем:

\cos( \alpha - \beta) = \cos( \alpha) \cos( \beta) + \sin( \alpha) \sin( \beta) \,\!

Из (8) следует:

\sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta + {DC} \sin \alpha - (CE) = \,\!
= \sin \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \alpha \frac{ \sin \beta}{ \cos \alpha} - \frac{ \sin \beta}{ \cos \alpha} =\,\!
= \frac { \sin \alpha \cos \alpha \cos \beta + \sin \beta( \sin^2 \alpha - 1)}{ \cos \alpha} =
= \frac { \sin \alpha \cos \alpha \cos \beta - \sin \beta \cos^2 \alpha}{ \cos \alpha}.

Сокращаем получаем:

\sin( \alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta \,\!

Вывод формул \sin ( \alpha + \beta) ,\ \cos ( \alpha + \beta)

На Рис. 4 изображены четыре прямоугольных треугольника: ABC, ABE, ADE и CDE.

Принято, что AE = 1, \angle BAE = \alpha, \angle EAC = \beta, \angle BAC = \angle DEC = \alpha + \beta.

Так как AE = 1, то

(BE) = \sin \alpha \,\!
(AB) = \cos \alpha \,\!
(DE) = \sin \beta \,\!
(AD) = \cos \beta \,\!.

Из треугольника ABC следует:

\sin ( \alpha + \beta) = \frac{ \sin \alpha + (CE)}{ \cos \beta + (CD)} \qquad \qquad (14) \,\!
\cos ( \alpha + \beta) = \frac{ \cos \alpha}{ \cos \beta + (CD)} \qquad \qquad (15) \,\!

Из треугольника CDE следует:

\sin ( \alpha + \beta) = \frac{CD}{CE} \qquad \qquad \qquad \qquad (16)
\cos ( \alpha + \beta) = \frac{ \sin \beta}{CE} \qquad \qquad \qquad \qquad (17).

Приравниваем правые части уравнений (14) и (16):

\frac{ (CD)}{(CE)} = \frac{ \sin \alpha + (CE)}{ \cos \beta + (CD)}
(CD) \cos \beta + (CD)^2 = (CE) \sin \alpha + (CE)^2 \qquad (18)

Приравниваем правые части уравнений (15) и (17) и решаем, полученное уравнение относительно CE:

\frac{ \sin \beta}{(CE)} = \frac{ \cos \alpha}{ \cos \beta + (CD)}
(CE) = \frac { \sin \beta ( \cos \beta + (CD))}{ \cos \alpha} \qquad \qquad \qquad (19).

Подставляем (CE) из (19) в (18):

(CD) = \sin \beta \frac{ \sin( \alpha) \cos( \alpha) + \sin( \beta) \cos( \beta)}{ \cos^2( \alpha) - \sin^2( \beta)} \qquad (20).

Полученное значение для CD подставляем в (15):

\cos( \alpha + \beta) = \frac { \cos \alpha}{ \cos \beta + \sin \beta \frac{ \sin( \alpha) \cos( \alpha) + \sin( \beta) \cos( \beta)}{ \cos^2( \alpha) - \sin^2( \beta) }} =
= \frac { \cos^2( \alpha) - \sin^2( \beta)}{ \cos( \alpha) \cos( \beta) + \sin( \alpha) \cos( \beta)} =
= \frac { \cos^2( \alpha) - \sin^2( \beta) + \cos^2( \alpha) \cos^2( \beta) - \cos^2( \alpha) \cos^2( \beta) + \sin^2( \alpha) \sin^2( \beta) - \sin^2( \alpha) \sin^2( \beta) }{ \cos( \alpha) \cos( \beta) + \sin( \alpha) \cos( \beta)} =
= \frac { \cos^2( \alpha) (1 - \cos^2( \beta)) - \sin^2( \beta) (1 - \sin^2( \alpha)) + \cos^2( \alpha) \cos^2( \beta) - \sin^2( \alpha) \sin^2( \beta) }{ \cos( \alpha) \cos( \beta) + \sin( \alpha) \cos( \beta)} =
= \frac { \cos^2( \alpha) \sin^2( \beta) - \cos^2( \alpha) \sin^2( \beta) + \cos^2( \alpha) \cos^2( \beta) - \sin^2( \alpha) \sin^2( \beta) }{ \cos( \alpha) \cos( \beta) + \sin( \alpha) \cos( \beta)} =
= \frac {( \cos( \alpha) \cos( \beta) - \sin( \alpha) \sin( \beta))( \cos( \beta) \cos( \alpha) + \sin( \alpha) \cos( \beta))}{ \cos( \alpha) \cos( \beta) + \sin( \alpha) \cos( \beta)}.

Итак:

\cos( \alpha + \beta) = \cos( \alpha) \cos( \beta) - \sin( \alpha) \sin( \beta)\,\!.

Из формулы (15) следует:

(CD) = \cos( \alpha) - \cos( \beta) \cos(( \alpha) + (\beta)) \qquad \qquad (21)

Из формулы (16) и (17) следует:

(CD) = \sin( \beta) \frac{\sin( \alpha + \beta)}{ \cos( \alpha + \beta) }\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad (22)

Приравниваем правые части (21) и (22) и находим \sin( \alpha + \beta)\,\!:

\sin( \alpha + \beta) = \frac{ \cos ( \alpha) - \cos( \beta) \cos( \alpha + \beta)}{ \sin( \beta)}\qquad \qquad \qquad

Прдставляем значение \cos( \alpha + \beta)\,\!:

\sin( \alpha + \beta) = \frac{ \cos ( \alpha) - \cos( \beta)( \cos( \alpha) \cos( \beta) - \sin( \alpha) \sin( \beta))}{ \sin( \beta)} =
= \frac{ \cos ( \alpha) - \cos( \alpha) \cos^2( \beta) + \sin( \alpha) \sin( \beta) \cos( \beta)}{ \sin( \beta)} =
= \frac{ \cos ( \alpha)(1 - \cos^2( \beta) + \sin( \alpha) \sin( \beta) \cos( \beta)}{ \sin( \beta)} =
= \frac{ \cos ( \alpha) \sin^2( \beta) + \sin( \alpha) \sin( \beta) \cos( \beta)}{ \sin( \beta)}

Итак:

\sin( \alpha + \beta) = \sin( \alpha) \cos( \beta) + \cos( \alpha) \sin( \beta) \,\!.

Формулы двойного угла

Формулы двойного угла выводятся из формул (5), (6) и (7), если принять, что угол β равен углу α:

Формулы двойного угла
\sin \,2 \alpha = 2 \sin (\alpha) \cos ( \alpha) \,\! (23)
\cos \,2 \alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha \,\! (24)
\mathop{\mathrm{tg}}\, 2 \alpha = \frac{2 \mathop{\mathrm{tg}}\, \alpha}{1 - \mathop{\mathrm{tg}}^2 \alpha} \,\! (25)

Формулы понижения степени

Формулы понижения степени выводятся из формулы (24), заменой cos2α = 1 − sin2α и sin2α = 1 − cos2α:

Формулы понижения степени
\sin^2 \alpha = \frac{1 - \cos 2 \alpha}{2} \,\! (26)
\cos^2 \alpha = \frac{1 + \cos 2 \alpha}{2} \,\! (27)

Формулы преобразования произведений функций

Формул преобразования произведений функций
\sin \, \alpha \, \sin \, \beta = \frac{ \cos ( \alpha - \beta) - \cos ( \alpha + \beta)}{2} \,\! (28)
\sin \, \alpha \, \cos \, \beta = \frac{ \sin ( \alpha + \beta) + \sin ( \alpha - \beta)}{2} \,\! (29)
\cos \, \alpha \, \cos \, \beta = \frac{ \cos ( \alpha + \beta) + \cos ( \alpha - \beta)}{2} \,\! (30)
\cos \, \alpha \, \sin \, \beta = \frac{ \sin ( \alpha + \beta) - \sin ( \alpha - \beta)}{2} \,\! (31)

Вывод формул преобразования произведений функций

Формулы сложения функций выводятся из формул сложения аргументов (5), (6) и (7). Например, из формулы (5) следует:

\sin ( \alpha + \beta) + \sin ( \alpha - \beta) = \sin \, \alpha \, \cos \, \beta + \cos \, \alpha \, \sin \, \beta + \sin \, \alpha \, \cos \, \beta - \cos \, \alpha \, \sin \, \beta =\,\!
= 2 \sin \, \alpha \cos \, \beta\,\!.

То есть:

\sin \, \alpha \cos \, \beta = \frac{\sin ( \alpha + \beta) + \sin ( \alpha - \beta)}{2} \,\!    — формула (29).

Остальные формулы преобразования произведений функций выводятся аналогично.

Формулы преобразования суммы функций

Формулы преобразования суммы функций
\sin \, \alpha \pm \sin \, \beta = 2 \sin \frac{ \alpha \pm \beta}{2} \cos \frac{ \alpha \mp \beta}{2}\,\! (32)
\cos \, \alpha + \cos \, \beta = 2 \cos \frac{ \alpha + \beta}{2} \cos \frac{ \alpha - \beta}{2}\,\! (33)
\cos \, \alpha - \cos \, \beta = - 2 \sin \frac{ \alpha + \beta}{2} \sin \frac{ \alpha - \beta}{2}\,\! (34)
\mathop{\mathrm{tg}} \, \alpha \pm \mathop{\mathrm{tg}} \, \beta = \frac{ \sin ( \alpha \pm \beta)}{ \cos \, \alpha \cos \, \beta}\,\! (35)
\mathop{\mathrm{ctg}} \, \alpha \pm \mathop{\mathrm{ctg}} \, \beta = \frac{ \pm \sin ( \alpha \pm \beta)}{ \sin \, \alpha \sin \, \beta}\,\! (36)

Вывод формул преобразования суммы функций

Формулы преобразования суммы функций выводятся из формул преобразования произведений функций (28), (29), (30) и (31) с помощью подстановки:

\alpha = \frac{ \alpha + \beta}{2}\,\!

и

\beta = \frac{ \alpha - \beta}{2}\,\!.

Подставим эти выражения в формулу (28):

\sin ( \frac{ \alpha + \beta}{2}) \sin ( \frac{ \alpha - \beta}{2}) = \frac{ \cos \, \beta - \cos \, \alpha}{2} \,\!, то есть
\cos \, \alpha - \cos \, \beta = - 2 \sin ( \frac{ \alpha + \beta}{2}) \sin ( \frac{ \alpha - \beta}{2}) \,\!    — формула (35).

Остальные формулы преобразования суммы синуса и косинуса выводятся аналогично.

Из формулы (7) следует:

\mathop{\mathrm{tg}} \, \alpha + \mathop{\mathrm{tg}} \, \beta = \mathop{\mathrm{tg}}( \alpha + \beta)(1 - \mathop{\mathrm{tg}} \,( \alpha) \mathop{\mathrm{tg}}\,( \beta)) = \,\!
= \frac{\sin(\alpha+\beta)}{\cos(\alpha+\beta)}\cdot \frac{\cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta}{\cos\alpha \cos\beta}\,\!
= \frac{\sin(\alpha+\beta)}{\cos(\alpha+\beta)}\cdot\frac{\cos(\alpha+\beta)} {\cos\alpha \cos\beta} \,\!, то есть
\mathop{\mathrm{tg}} \, \alpha \pm \mathop{\mathrm{tg}} \, \beta = \frac{ \sin ( \alpha \pm \beta)}{ \cos \, \alpha \cos \, \beta} \qquad \qquad \,\!   — формула (36).

Преобразование суммы cинусов 3-x разных углов в произведение при :\alpha\ + \beta\ + \gamma\ = 180^\circ :

\sin 2\alpha + \sin 2\beta + \sin 2\gamma = 4 \sin\alpha\ \sin\beta\ \sin\gamma
 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home