Сумма ряда

Сумма ряда, или бесконе́чная су́мма, или ряд, — математическое выражение, позволяющее записать бесконечное количество слагаемых и подразумевающее значение их суммы, которое можно получить в предельном смысле. Если значение суммы (в предельном смысле) существует, то говорят, что ряд сходится. В противном случае говорят, что он расходится.

Содержание

Определение

Пусть a_1,a_2,\ldots,a_n,\ldots — последовательность чисел. Число S_n=a_1+a_2+\ldots+a_n называется n-ой частичной суммой ряда \sum_{i=1}^\infty a_i.

Сумма (числового) ряда — это предел частичных сумм Sn, если он существует и конечен. Таким образом, если существует число S=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n}a_i, то в этом случае пишут \sum_{i=1}^{\infty}a_i=S.

Условия существования суммы ряда.

Для существования суммы числового ряда необходимо стремление его членов к нулю. Достаточные условия существования суммы ряда более сложны.

Примеры

  • \sum_{n=0}^{\infty}q^n=\frac{1}{1-q}, где | q | < 1 — сумма геометрической прогрессии, в частности
    • \sum_{i=0}^\infin {1 \over 2^i} = 1 + {1 \over 2} + {1 \over 4} + {1 \over 8} + \ldots = 2
  • \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}.

См. также

 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home