Алгебраическая функция

Алгебраическая функция — функция, которая в окрестности каждой точки области определения может быть задана неявно с помощью алгебраического уравнения.

Более точное определение:

Функция \,\!F(x_1, x_2, \ldots, x_n) называется алгебраической в точке \,\!A=(a_1, a_2, \ldots, a_n), если существует окрестность точки \,\!A, в которой верно тождество

\,\!P( F(x_1, x_2, \ldots, x_n), x_1, x_2, \ldots, x_n) = 0.

где \,\!P есть многочлен от n + 1 переменной.

Функция называется алгебраической, если она является алгебраической в каждой точке области определения.

Например, функция действительного переменного F(x) = \sqrt{1-x^2} является алгебраической на интервале ( − 1,1) в поле действительных чисел, так как она удовлетворяет уравнению

\,\!F^2 + x^2 = 1.

Существует аналитическое продолжение функции F(x) = \sqrt{1-x^2} на комплексную плоскость, с вырезанным отрезком [ − 1,1] или с двумя вырезанными лучами (-\infty, -1] и [1,\infty). В этой области полученная функция компл'ексного переменного является алгебраической и аналитической.

Известно, что если функция является алгебраической в точке, то она является и аналитической в данной точке. Обратное неверно. Функции, являющиеся аналитическими, но не являющиеся алгебраическими, называются трансцендентными.


Алгебраические уравнения

Уравнение вида

\,\!P(x_1,\ldots,x_n) = Q(x_1, \ldots, x_n),

где P и Q многочлены с коэфициентами из поля рациональных чисел, называется алгебраическим уравнением.

Алгебраические и трансцендентные числа

Действительные числа, которые являются корнем какого-то алгебраического уравнения, называются алгебраическими. Действительные числа, которые не являются корнем никакого алгебраического уравнения, называются трансцендентными.

Все рациональные числа являются алгебраическими. Среди иррациональных чисел есть как алгебраические, так и трансцендентные. Например, \sqrt{2} — алгебраическое иррациональное число, а \,\!\pi — трансцендентное иррациональное число.

См. также

 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home