Теорема Лиувилля о приближении алгебраических чисел

Теорема Лиувиля о приближении алгебраических чисел — теорема, устанавливающая, что алгебраические иррациональности не могут слишком хорошо приближаться рациональными числами. Именно, если α — алгебраическое число степени n, а p и q — любые целые рациональные числа, то имеет место неравенство

\left|\alpha-\frac pq\right|>\frac C{q^n}

тде C — положительная константа, зависящая только от α и выражаемая в явном виде через сопряженные с α величины.

С помощью этой теоремы Ж. Лиувилль впервые построил примеры трансцендентных чисел. Таким числом является, например, число представляемое рядом с быстро убывающими членами.

\xi=\sum_{n=1}^\infty\frac1{2^{n!}}

Обобщения

При n = 2 теорема Лиувиля дает неулучшаемый результат. Для n\ge 3 теорема Лиувиля неоднократно усиливалась.

В 1909 А. Туэ(A. Thue) установил, что для алгебраических чисел а степени n и \nu>\frac n2+1 справедливо неравенство

\left|\alpha-\frac pq\right|>\frac C{q^\nu}

К. Зигель(Siegel) улучшил результат А. Туэ, показав, что последнее неравенство выполняется при (s — целое)

\nu>\min_{s=\{1,2,..,n-1\}}(\frac n{s+1}+s)

в частности при \nu>2\sqrt n. Позже Ф. Дайсон (F. I. Dyson) доказал справедливость этого неравенства при \nu>\sqrt {2n}. Наконец, К. Рот установил, что неравенство (*) справедливо при любом ν > 2. Результат К. Рота является наилучшим в своем роде, т. к. любое иррациональное число ξ, алгебраическое или нет, имеет бесконечно много рациональных приближений p / q, удовлетворяющих неравенству

\left|\xi-\frac pq\right|<\frac 1 {q^2}

Все указанные выше усиления теоремы Лиувиля имеют один существенный недостаток — они неэффективны, а именно: методы их доказательства не позволяют установить, каким образом постоянная C = C(α,ν) в неравенстве зависит от величин α и ν.

 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home