Ультрафильтр

Ультрафильтр на решётке F это максимальный собственный фильтр. Понятие ультрафильтра появилось в общей топологии, где оно используется для обобщения понятия сходимости на протранства с несчётной базой.

Содержание

Определение

Собственный фильтр F на решётке L является ультрафильтром, если он не содержится ни в одном собственном фильтре.

Набор F подмножеств множества X называется ультрафильтром на X, если

  • \emptyset \notin F
  • для любых двух элементов F, их пересечение также лежит в F
  • для любого элемента F, все его надмножества лежат в F

Эквивалентная переформулировка этих условий:

  • для любого подмножества Y \subseteq X либо Y \in F, либо X \backslash Y \in F

Ултрафильтры в булевых алгебрах

Если решётка L является булевой алгеброй, то возможна следующая характеризация ультрафильтров: фильтр F является ультрафильтром тогда и только тогда, когда для любого элемента x \in L либо x \in F, либо -x \in F

Эта характеризация делает ультрафильтры похожими на полные теории.

Примеры

  • любой главный фильтр является ультрафильтром
  • подмножество алгебры Линденбаума-Тарского полной теории T, состоящее из теорем T

Свойства

  • ультрафильтр на конечном множестве всегда является главным.
  • любой ультрафильтр на бесконечном множестве содержит коконечный фильтр.
  • если F главный ультрафильтр на множестве X, то его главный элемент является пересечением всех элементов ультрафильтра.
  • если F неглавный ультрафильтр на множестве X, то пересечение всех его элементов пусто.

Каждый фильтр содержится в ультрафильтре

Утверждение о том, что каждый фильтр содержится в ультрафильтре не может быть доказано без использования аксиомы выбора. Также это утверждение эквивалентно теореме о булевых простых идеалах.

Важным следствием этой теоремы является существование неглавных ультрафильтров на бесконечных множествах.

Приложения

Ультрафильтры используются в ряде конструкций теории моделей, а именно для формулировки понятия ультрапроизведения. Ультрафильтры также фигурируют в формулировке теоремы Стоуна и в явном построении компактификации Стоуна-Чеха.

Топология

Нестандартный анализ

 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home