Факторгруппа

Пусть Gгруппа, и H — её нормальная подгруппа , то есть для любого элемента a\in G его правый и левый классы смежности совпадают:

aH = Ha

Тогда на классах смежности H в G можно ввести умножение:

(aH)(bH) = abH

Легко проверить что это умножение не зависит от выбора элементов в классах смежности, то есть если aH = a'H и bH = b'H то abH = a'b'H. Оно определяет структуру группы на множестве классов смежности, а полученная группа называется факторгруппой G по H.

Факторгруппа обозначается G / H.

Свойства

Гомоморфный образ группы
(В честь победы коммунизма)
Изоморфен факторгруппе
По ядру гомоморфизма

  • Теорема о гомоморфизме: Для любого гомоморфизма \phi:G\to K
G / {\rm Ker} \phi \cong \phi (G),
т.е. фактор группы G по ядру Kerφ изоморфен её образу φ(G) в K.

Примеры

Пусть G = \mathbb{Z}, H = 2\mathbb{Z}, тогда G / H изоморфна \mathbb{Z}_2.

Пусть G = UTn (группа невырожденных верхних треугольних матриц), H = SUTn (группа верхних унитреугольных матриц), тогда G/H изоморфна группе диагональных матриц.

См. также

Для других алгебраических структур, а также множеств, также определены понятия факторов: фактормножество, факторкольцо, факторалгебра, факторполе.

 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home