Уравнения Гамильтона

В физике и математике, уравнения Гамильтона представляет собой систему дифференциальных уравнений

\dot p = -\frac{\partial H}{\partial q}
\dot q =~~\frac{\partial H}{\partial p}

которые возникают в гамильтоновой механике, но также во многих других относящихся и иногда не очевидно связанных областях науки.

Содержание

Более подробно

В выше приведённых уравнениях точка обозначает обыкновенную производную функций p = p(t) (называется импульсом) и q = q(t) (называется координатой), которые принимают значения в некотором векторном пространстве, и H = H(p,q,t) так называемый гамильтониан, или (скаляр) функция Гамильтона. Таким образом более подробно можно записать

\frac{\mathrm dp}{\mathrm dt}(t) = -\frac{\partial H}{\partial q}(p(t),q(t),t)
\frac{\mathrm dq}{\mathrm dt}(t) =~~\frac{\partial H}{\partial p}(p(t),q(t),t)

как функции одного варьируемого параметра t (время).

Для более детального вывода этих уравнений из лагранжевой механики смотрите статью гамильтонова механика.

Основная физическая интерпретация

Наиболее простая интерпретация этих уравнений заключается в следующем: Гамильтониан H представляет энергию физической системы, которая есть сумма кинетической и потенциальной энергий, традиционно обозначаемых T и V соответственно:

H = T + V , T = p²/2m , V = V(q) = V(x)

Обобщение посредством скобок Пуассона

Уравнения Гамильтона приведённые выше работают превосходно в классической механике, но не для квантовой механики, поскольку дифференциальные уравнения предполагают, что импульс и координатачастицы могут быть найдены одновременно в любой момент времени. Уравнения могут быть обобщены на квантовую механику также как и для классической механики если использовать алгебру Пуссона над p и q. В этом случае, более общая форма уравнений Гамильтона гласит

\frac{df}{dt} = \{f, H\} + \frac{\partial f}{\partial t}

где f некоторая функция p и q, и H — гамильтониан. Для того, чтобы найти правила работы со скобками Пуассона без обращения к дифференциальным уравнениям, смотрите статью алгебра Ли, поскольку скобки Пуассона это просто другое название скобок Ли в алгебре Пуассона.

фактически этот алгебраический подход позволяет исспользовать распределение вероятностей и волновые функции для q и p, но также позволяет найти сохраняющиеся величины.

Смотрите также

Ссылки

  • Л. Ландау, Л. Д. Лифшиц: Теоретическая физика, том 1: Механика.
  • Goldstein, H. Classical Mechanics, second edition, pp.16 (Addison-Wesley, 1980)
 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home