Правило Лопиталя

В математическом анализе правилом Лопита́ля называют метод нахождения пределов функций, раскрывающий неопределённости вида 0 / 0 и \infty/\infty. Обосновывающая метод теорема утверждает, что при некоторых условиях предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

Содержание

Точная формулировка

Правило говорит, что если функции f(x) и g(x) обладают следующим набором условий:

  1. \lim_{x\to a+}{f(x)}=\lim_{x\to a+}{g(x)}=0 или \infty;
  2. \exists \lim_{x\to a+}{\frac{f'(x)}{g'(x)}};
  3. g(x)\neq 0 в некоторой окрестности точки a,

тогда существует \lim_{x\to a+}{\frac{f(x)}{g(x)}} = \lim_{x\to a+}{\frac{f'(x)}{g'(x)}}. При этом теорема верна и для других баз (для указанной будет приведено доказательство).

История

Способ раскрытия такого рода неопределённостей был опубликован маркизом Г. Ф. де Лопиталем (Guillaume François Antoine, marquis de L'Hôpital) в его сочинении «Анализ бесконечно малых» («Analyse des infiniment petits»), изданном в 1696 г. Однако после смерти де Лопиталя Иоганн Бернулли опубликовал работу «Усовершенствование моего опубликованнного в „Analyse des infiniment petits” §163 метода для определения значения дроби, числитель и знаменатель которой иногда исчезают», 1704), в которой предъявил претензии на авторство, хотя и не обвинял покойного в явном плагиате.

Доказательство

1. Докажем теорему для случая, когда пределы функций равны нулю (т. н. неопределённость вида \left(\frac{0}{0}\right)).

Поскольку мы рассматриваем функции f и g только в правой проколотой полуокрестности точки a, мы можем непрерывным образом их доопределить в этой точке: пусть f(a) = g(a) = 0. Возьмём некоторый x из рассматриваемой полуокрестности и применим к отрезку [a, x] теорему Коши. По этой теореме получим:

\exists c \in [a,x]: \frac{f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)}=\frac{f'(c)}{g'(c)},

но f(a) = g(a) = 0, поэтому \forall x\, \exists c \in [a,x]: \frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f'(c)}{g'(c)}.

Дальше, записав определение предела отношения производных и обозначив последний через A, из полученного равенства выводим:

\forall \varepsilon>0\, \exists \delta>0\, \forall x(x-a<\delta\Rightarrow \left|\frac{f(x)}{g(x)}-A\right|<\varepsilon) для конечного предела и
\forall M > 0\, \exists \delta>0\, \forall x(x-a<\delta\Rightarrow \left|\frac{f(x)}{g(x)}\right| > M) для бесконечного,

что является определением предела отношения функций.

2. Докажем теорему для неопределённостей вида \left(\frac{\infty}{\infty}\right).

Пусть, для начала, предел отношения производных конечен и равен A. Тогда, при стремлении x к a справа, это отношение можно записать как A + α, где α — O(1). Запишем это условие:

\forall \varepsilon_{1}\, \exists \delta_{1}\, \forall x(x-a<\delta_{1}\Rightarrow \alpha(x)<\varepsilon_{1}).

Зафиксируем t из отрезка [a,a1] и применим теорему Коши ко всем x из отрезка [a,t]:

\forall x\in [a;t] \exists c\in [a;x]:\frac{f(x)-f(t)}{g(x)-g(t)}=\frac{f'(c)}{g'(c)}, что можно привести к следующему виду:
\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{1-\frac{g(t)}{g(x)}}{1-\frac{f(t)}{f(x)}}\cdot\frac{f'(c)}{g'(c)}.

Для x, достаточно близких к a, выражение имеет смысл; предел первого множителя правой части равен единице (т. к. f(t) и g(t)константы, а f(x) и g(x) стремятся к бесконечности). Значит, этот множитель равен 1+β, где β — бесконечно малая функция при стремлении x к a справа. Выпишем определение этого факта, используя то же значение \varepsilon, что и в определении для α:

\forall \varepsilon_{1}\, \exists \delta_{2}\, \forall x(x-a<\delta_{2}\Rightarrow \beta(x)<\varepsilon_{1}).

Получили, что отношение функций представимо в виде (1+β)(A+α), и \left|\frac{f(x)}{g(x)}-A\right|<|A|\varepsilon_{1}+\varepsilon_{1}+\varepsilon_{1}^{2}. По любому данному \varepsilon можно найти такое \varepsilon_{1}, чтобы модуль разности отношения функций и A был меньше \varepsilon, значит, предел отношения функций действительно равен A.

Если же предел A бесконечен (допустим, он равен плюс бесконечности), то

\forall M>0\, \exists \delta_{1}>0\, \forall x(x-a<\delta_{1}\Rightarrow\frac{f'(x)}{g'(x)}>2M).

В определении β будем брать \varepsilon_{1} < \frac{1}{2}; первый множитель правой части будет больше 1/2 при x, достаточно близких к a, а тогда \frac{f(x)}{g(x)}>\frac{1}{2}\cdot 2M=M\Rightarrow \lim_{x\to a+}{\frac{f(x)}{g(x)}}=+\infty.

Для других баз доказательства аналогичны приведённым.

Примеры

  • \lim_{x\to+\infty}{\frac{e^{x}}{x^{a}}}=\lim_{x\to+\infty}{\frac{e^{x}}{a\cdot x^{a-1}}}=...=\lim_{x\to+\infty}{\frac{e^{x}}{a!}}=+\infty;
  • \lim_{x\to+\infty}{\frac{x^{a}}{\ln{x}}}=\lim_{x\to+\infty}{\frac{ax^{a-1}}{\frac{1}{x}}}=a\cdot\lim_{x\to+\infty}{x^{a}}=+\infty при a > 0.
 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home