Эйлерова характеристика

В алгебраической топологии, эйлерова характеристика есть топологический инвариант (и даже гомотопический инвариант) определённый на большом классе топологических пространств. Обычно эйлерова характеристика пространства X обозначается χ(X).

Эйлерова характеристика двумерных топологических полиэдров может быть посчитана по формуле: χ = Γ - P + B где Г, Р и В суть числа граней, рёбер и вершин соответственно. В частности, для любого выпуклого многогранника верна так называемая формула Эйлера:

Γ - P + B = χ(S2) = 2.

Например, для куба 6 − 12 + 8 = 2 и для треугольной пирамиды 4 − 6 + 4 = 2.

Определения и свойства

Для конечного клеточного комплекса (в частности для конечного симплициального комплекса) эйлерова характеристика может быть определена как знакопеременная сумма

χ = k0 - k1 + k2 - ...,

где ki обозначает число клеток размерности i.

В частности можно определить эйлерову характеристику замкнутого многообразия как эйлерову характеристику гомеоморфного симплекциального комплекса. Например окружность и тор имеют характеристику 0, а шар имеет характеристику 1.

Эйлерова характеристика сферы с g ручками равна 2 - 2g.

Согласно формуле Гаусса—Бонне, эйлерова характеристика замкнутой поверхности S равна

χ(S) = K
S

где K обозначает гауссову кривизну. Обобщённая формула Гаусса—Бонне даёт похожую формулу для произвольных замкнутых римановых многообразий. Существует также дискретный аналог теорема Гаусса-Боне, гласящий что эйлерова характеристика равна сумме дефектов полиэдра делённой на .

Эйлерова характеристика произвольного топологического пространства может быть определена через числа Бетти bn как знакопеременная сумма:

\chi=b_0 - b_1 + b_2 - b_3 +\, ...

Это определение имеет смысл только если все числа Бетти конечны и обнуляются для всех достаточно больших индексов. Если два пространства гомотопически эквивалентны то их числа Бетти совпадают, а таким образом и эйлеровы характеристики совпадают. Последнее определение обобщает предыдущее и обобщается на другие гомологии с произвольными коэффициентами.

Ссылки

 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home