Функция распределения

Кумуляти́вная фу́нкция распределе́ния (или просто функция распределения) в теории вероятностей однозначно задаёт распределение случайной величины или случайного вектора.

Содержание

Определение

Пусть дано вероятностное пространство (\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P}), и на нём определена случайная величина X с распределением \mathbb{P}^X. Тогда функцией распределения случайной величины X называется функция F_X:\mathbb{R} \to [0,1], задаваемая формулой:

F_X(x) = \mathbb{P}( X \le x ) \equiv \mathbb{P}^X((-\infty, x] ).

Простейшие свойства

Взаимо-однозначное соответствие распределению

Очевидно, что распределение случайной величины \mathbb{P}^X однозначно определяет функцию распределения. Верно и обратное: если функция F(x) удовлетворяет четырём перечисленным выше свойствам, то существует вероятностное пространство и определённая на нём случайная величина, такая что F(x) является её функцией распределения.

Вычисление вероятностей

Левый предел

По определению непрерывности справа, функция FX имеет правый предел FX(x + ) в любой точке x\in \mathbb{R}, и он совпадает со значением функции FX(x) в этой точке. В силу неубывания, функция FX также имеет и левый предел FX(x − ) в любой точке x\in \mathbb{R}, который может не совпадать со значением функции. Таким образом, функция FX либо непрерывна в точке, либо имеет в ней разрыв первого рода.

Простейшие формулы

Из свойств вероятности следует, что \forall x \in \mathbb{R},\; \forall a,b\in \mathbb{R}, таких что a < b:

  • \mathbb{P}(X > x ) = 1 - F_X(x);
  • \mathbb{P}(X < x ) = F_X(x-);
  • \mathbb{P}(X \ge x ) = 1 - F_X(x-);
  • \mathbb{P}( X = x ) = F_X(x) - F_X(x-);
  • \mathbb{P}(a < X \le b ) = F_X(b) - F_X(a);
  • \mathbb{P}(a \le X \le b) = F_X(b) - F_X(a-);
  • \mathbb{P}(a < X < b ) = F_X(b-) - F_X(a);
  • \mathbb{P}(a \le X < b ) = F_X(b-) - F_X(a-).

Дискретные распределения

Если случайная величина X дискретна, то есть её распределение однозначно задаётся функцией вероятности

\mathbb{P}(X = x_i) = p_i,\; i=1,2,\ldots,

то функция распределения FX этой случайной величины кусочно-постоянна и может быть записана как:

F_X(x) = \sum\limits_{i: x_i \leq x} p_i.

Эта функция непрерывна в любой точке x\in \mathbb{R}, такой что x \not= x_i,\; \forall i, и имеет разрыв, равный pi, в x = xi.

Непрерывные распределения

Распределение \mathbb{P}^X называется непрерывным, если такова его функция распределения FX. В этом случае:

\mathbb{P}(X = x) = 0,\; \forall x \in \mathbb{R},

и

F_X(x-) = F_X(x),\; \forall x \in \mathbb{R},

а следовательно формулы, приведённые выше, имеют вид:

\mathbb{P}(X \in |a,b|) = F_X(b) - F_X(a),

где | a,b | означает любой интервал, открытый или закрытый, конечный или бесконечный.

Абсолютно непрерывные распределения

Распределение \mathbb{P}^X называется абсолютно непрерывным, если существует неотрицательная почти всюду (относительно меры Лебега) функция fX(x), такая что:

F_X(x) = \int\limits_{-\infty}^x f_X(t)\, dt.

Функция fX называется плотностью распределения. Известно, что функция абсолютно непрерывного распределения непрерывна, и более того если f_X \in C(\mathbb{R}), то F_X \in \mathcal{D}(\mathbb{R}), и

\frac{d}{dx}F_X(x) = f_X(x),\; \forall x \in \mathbb{R}.

Многомерные функции распределения

Пусть (\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P}) фиксированное вероятностное пространство, и X=(X_1,\ldots,X_n): \Omega \to \mathbb{R}^N - случайный вектор. Тогда распределение \mathbb{P}^X является вероятностной мерой на \mathbb{R}^n. Функция этого распределения F_X: \mathbb{R}^n \to [0,1] задаётся по определению следующим образом:

F_X(x_1,\ldots,x_n) = \mathbb{P}(X_1 \le x_1 ,\ldots, X_n \le x_n) \equiv \mathbb{P}^X \left(\prod\limits_{i=1}^n (-\infty,x_i]\right),

где \prod в данном случае обозначает декартово произведение множеств.

Свойства многомерных функций распределения аналогичны одномерному случаю. Также сохраняется взаимно-однозначное соответствие между распределениями на \mathbb{R}^n и многомерными функциями распределения. Однако, формулы для вычисления вероятностей существенно усложняются, и потому функции распределения редко используются для n > 1.

См. также

 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home