Число Лефшеца

Число Лефшеца — инвариант отображения топологического пространства в себя. Пусть X — топологическое пространство, f:X\to X - непрерывное отображение, H * (X,k) — группы гомологий X с коэффициентами в поле k. Пусть tnслед линейного преобразования

f_*:H_n(X,k)\to H_n(X,k)

По определению, число Лефшеца отображения f есть

\Lambda(f,X)=\sum_{i=0}^\infty(-1)^nt_n

Число Лефшеца определено если общий ранг групп H * (X,k) = 0 конечен, и в этом случае не зависит от выбора k.

Свойства

Формула Лефшеца

Пусть X — связное ориентируемое n-мерное компактное топологическое многообразие или n-мерный конечный клеточный комплекс, f : X \to X - непрерывное отображение. Предполагается, что все неподвижные точки отображения f : X \to X изолированы.

Для каждой неподвижной точки x\in X пусть i(x) — её индекс Кронекера (локальная степень отображения f в окрестности точки x). Тогда формула Лефшеца для X и f имеет вид

i(x) = Λ(f,X).
{x | f(x) = x}

История

Эта формула была установлена впервые Лефшецeм (Lefschetz) для конечномерных ориентируемых топологических многообразий и для позже конечных клеточных комплексов. Этим работам Лефшеца предшествовала работа Брауэра 1911 о неподвижной точке непрерывного отображения n-мерной сферы в себя.

 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home