Квазигруппа

В абстрактной алгебре, квазигру́ппа — это алгебраическая структура, напоминающая группу тем, что в ней всегда возможно деление. В отличие от групп, квазигруппа не обязана быть ассоциативной.

Определения и свойства

Квазигруппой называют пару (Q, *) из множества Q с бинарной операцией * : Q × QQ, удовлетворяющей следующему условию: для любых элементов a и b из Q найдутся единственные элементы x и y из Q, такие что

  • a * x = b
  • y * a = b

Решения этих уравнений иногда записывают так:

  • x = a \ b
  • y = b / a

Операции \ и / называют левым и правым делением.

Квазигруппу с единицей называют также лупой.

Если между элементами двух квазигрупп Q и R можно установить биекцию (т. е. они совпадают как множества), говорят, что Q и R имеют одинаковый порядок. Если при этом существуют перестановки A, B, C, действующие на элементах этих квазигрупп, такие что

  • (x, y) = [xA, yB]C

(здесь ( , ) и [ , ] - операции в Q и R соответственно), то такие квазигруппы называют изотопными.

Для любой квазигруппы существует лупа, которой она изотопна. Если же лупа изотопна группе, то она является группой. В более общем случае, если полугруппа изотопна лупе, то они изоморфны и обе изоморфны группе. Изотопия, в некотором смысле, эквивалентна изоморфизму групп, но существуют квазигруппы изотопные, но не изоморфные группам.

Примеры

 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home